- STRUCTURE D'UNE GAMME MUSICALE -             


Un des grands objectifs de la recherche en musique, surtout relativement à l'utilisation des mathématiques, est la recherche de l'harmonie, des sons les plus mélodieux possibles à l’oreille humaine. Nous savons que notre système musical actuel est basé sur des gammes de différentes tonalités, chaque gamme comportant sept notes (Voir en annexe : d’où vient le nom des sept notes ? ) Ces sept notes forment douze demi-tons qui correspondent chacun à un son différent. Comment sont divisés une gamme en sons puis un son en série harmonique ?
Nous allons voir comment nous sommes arrivés à la structure de la gamme musicale telle que nous la connaissons maintenant, c’est-à-dire la gamme tempérée. Ensuite, nous verrons qu’un son est lui-même divisé en une série harmonique car un son pure n’existe pas dans la nature.


    A - LA GAMME TEMPEREE


1 . La gamme de Pythagore

Pythagore (569-475 avant J.-C.) est reconnu comme le premier à calculer mathématiquement les rapports des intervalles musicaux. L'anecdote raconte qu'il se promenait en regardant les étoiles et entendit un forgeron qui battait une pièce de métal.


Il constata que les divers sons créés par les bruits de marteaux sur le métal étaient harmonieux. En pénétrant dans la forge, il s'aperçut alors que le forgeron utilisait des marteaux de divers poids, donnant chacun une note différente. C'est ainsi qu'il eut l'idée de faire des recherches sur les rapports mathématiques en musique.
L'instrument qui lui a permis de trouver ces rapports mathématiques était un monocorde, un instrument comportant une caisse de résonance sur laquelle une corde tendue était placée. Un chevalet placé sous la corde pouvait être déplacé et changeait ainsi la longueur de la corde en vibration.
Lorsqu'il pinçait la corde entière, il obtenait une note particulière. Lorsqu'il plaçait le chevalet au centre de la corde, il obtenait, en la pinçant, la même note mais une octave au-dessus ; à un tiers de la corde, il obtenait une note une quinte plus haut. Ce principe est celui du violon ou de la guitare et de tous instruments à corde.
Avec cette méthode fort simple, il a réussi à calculer mathématiquement les rapports sonores des intervalles musicaux. Ainsi, l'octave a un rapport de 2 sur 1, la quinte a un rapport de 3 sur 2, la quarte un rapport de 4 sur 3, et ainsi de suite.

L'autre grande découverte de Pythagore est l'ordre des quintes. A partir de celui-ci, il put trouver les 12 demi-tons divisant l'octave dans la musique occidentale. Voici comment il procéda : la quinte de do est sol ; la quinte de sol est ré ; la quinte de ré est la, et ainsi de suite. Il a obtenu la série de notes suivantes :

Do - Sol - Ré - La - Mi - Si - Fa# - Do# - Sol# - Ré# - La# - Mi# (Fa) - Si# (Do)

À la treizième note, on revient au do, fermant ainsi la boucle des 12 notes de la gamme chromatique. Par ailleurs, en musique, on préfère parler de spirale puisque les quintes sont toutes ascendantes et ainsi le si# (treizième note) n'est pas à la même hauteur que le do de départ.

De cette spirale, on obtient la gamme chromatique :
Do - Do# - Ré - Ré# - Mi - Fa - Fa# - Sol - Sol# - La - La# - Si - Do

    Toutefois, au Moyen-Âge, les musiciens critiquaient la gamme de Pythagore à partir de laquelle les instruments de musique étaient alors accordés : elle n'était pas suffisamment harmonieuse, surtout qu'elle ne se basait pas sur les tierces et ne permettait pas de représenter tous les accords musicaux de l'époque. Il était alors difficile pour les musiciens et chanteurs de jouer juste ensemble. Parmi les plus grands musiciens qui tentèrent de recalculer les intervalles musicaux afin d'obtenir une musique plus juste, citons Giuseffo Zarlino (1540-1594) et Leonhard Euler (1707-1783). (Voir en annexe : formation de l'échelle de Zarlino.)

2. La gamme tempérée

Ce sera au XVIIe siècle qu'on réussira à calculer une division de l'octave en 12 demi-tons égaux, soit notre gamme tempérée occidentale, qui permettra à un grand nombre d'instruments de musique de jouer juste toutes les notes de la gamme.
On attribue au mathématicien et organiste allemand Andreas Weickmeister (1645-1706) la formulation mathématique du calcul de la gamme chromatique occidentale, bien que quelques sources semblent contredire cette attribution. Par ailleurs, il semblerait que les Chinois aient calculé une gamme tempérée près de 200 ans avant les Européens mais ils l'auraient laisser tomber, la trouvant musicalement inintéressante.
Pour obtenir une gamme sans coma (Voir en annexe : formation de l’échelle de Zarlino), Weickmeister divise la gamme chromatique en 12 demi-tons parfaitement égaux par le rapport 1 059 463 094 / 1 000 000 000 pour chacun des demi-tons.
Toutefois, plusieurs formules mathématiques peuvent être utilisées aujourd'hui pour faire le calcul du demi-ton de la gamme tempérée de façon plus juste. En voici un exemple :

Nous avons dit plus haut qu'une octave correspondait à un rapport de 2.
Pour une division par 12, on a donc :
Demi-ton =  2 1/12 =  EMBED Microsoft Equation 3.0 ~ 1,0595

Comme la gamme tempérée est plus juste que la gamme de Pythagore, on peut chercher des unités de mesure fixes :
Un demi-ton =  EMBED Microsoft Equation 3.0  ;ensuite, nous pouvons encore diviser le ½ ton en 100 soit  EMBED Microsoft Equation 3.0 ~ 1.000578, ce qui nous donne une division par 100 où chaque demi-ton vaut 100 fois cette valeur et une octave vaut 12 demi-tons.  EMBED Microsoft Equation 3.0  est une unité de mesure d’un intervalle : le cent. L’octave comportant 1200 cents, l’intervalle (f1 ; f2) est donné en cents par la relation :   EQ \x(Ic = 1 200 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h log2  EMBED Equation.3  )
Il existe une autre unité de mesure : le savart noté σ, défini par la relation :
  EQ \x(Iσ = 1 000 SYMBOL 180 \f "Symbol"\h log10  EMBED Equation.3  )
L’octave mesure donc environ 301,03 σ puisque log10 (2)=0,30103. Mais les musiciens arrondissent à 300 ; ainsi, le demi-ton tempéré mesure  EQ \s\do2(\f(300;12)) soit 25 σ.
Bien qu'elle soit harmoniquement plus agréable, la gamme tempérée ne fut pas implantée immédiatement. En effet, un grand nombre de musiciens hésitaient à l'utiliser et le premier compositeur à s'en servir fut, semble-t-il, Jean-Sébastien Bach dans ses deux livres du Clavecin bien tempéré. Dans ces livres, on trouve 24 préludes et fugues dans les 12 tonalités de la gamme chromatique. (Voir en annexe : Modes et impressions d'après Marc-Antoine Charpentier et Jean-Philippe Rameau.)

La gamme tempérée devenait ainsi le meilleur moyen d'entendre plusieurs instruments jouer juste ensembles. L'harmonie occidentale telle qu'on la connaît aujourd'hui (et donc les orchestres symphoniques) ne se seraient pas développés sans le calcul de la gamme tempérée.


3. Quelques techniques d'écriture basées sur la gamme tempérée

Les mathématiques permettent de nouvelles techniques d'écriture : par exemple, plusieurs compositeurs ont utilisé des suites numériques, vectorielles, récurrentes et même des groupes de transformations.

Bon nombre de compositeurs, dont Guillaume de Machaux, Jean-Sébastien Bach, Wolfgang Amadeus Mozart et Joseph Haydn, ont utilisé le palindrome musical, c’est-à-dire une mélodie qui peut être lu de gauche à droite ou de droite à gauche.
Mozart aurait même fait ce qu'on appellerait aujourd'hui de la musique aléatoire ; il écrivait, semble-t-il, de courtes mélodies qu'il découpait et jetait dans un chapeau. Il les réassemblait aléatoirement pour ensuite improviser selon l'ordre de ces mélodies. Il a même imaginé une façon de composer des mélodies en jouant aux dés.

Le nombre d'or des Grecs de l'Antiquité était aussi un moyen d'écriture. (Voir en annexe : Calculer le nombre d'or)
Il  a été utilisé par un grand nombre de compositeurs pour structurer le point culminant de leurs oeuvres musicales (si une oeuvre contient 100 mesures, la 62e mesure sera le point culminant, le nombre d’or valant environ 1,62). Citons principalement Roland de Lassus, Richard Wagner, Claude Debussy, Bela Bartok, Maurice Ravel et Anton Webern. Certaines rumeurs suggèrent que Mozart, Haydn, Schumann et Beethoven l'auraient aussi utilisé dans leurs oeuvres.

Ce sera surtout au XXe siècle que l'utilisation des mathématiques en musique prendra un essor considérable. Au début du siècle, le compositeur autrichien Arnold Schoenberg crée la musique dodécaphonique. C'est une musique atonale, c'est-à-dire que toutes les notes ont la même importance, contrairement à la musique tonale où la tonique, la dominante et la sensible ont une plus grande importance que les autres tons. Le compositeur conçoit une série de 12 notes comprenant les 12 tons de la gamme chromatique (aucune note n'est alors répétée). Cette mélodie est alors rétrogradée, ensuite renversée, et le renversement est aussi rétrogradée, donnant ainsi 4 séries de base.
Cette forme d'écriture étant considérée trop contraignante et trop limitée, elle a donné vie à la musique sérielle qui fonctionne similairement, sauf qu'il n'y a aucune limitation de nombres de notes dans la série (des notes peuvent être répétées) et ces séries peuvent s’appliquer à tous les aspects de l'écriture musicale: le rythme, les intensités, les timbres, l'harmonie, l'orchestration et bien d'autres paramètres.

Après la IIe grande guerre mondiale, l'utilisation des mathématiques prendra un essor considérable, qui aboutira à la création dans les années 1970 de l'IRCAM à Paris, un centre de recherche en musique contemporaine accueillant mathématiciens, informaticiens et autres chercheurs. Plusieurs grands compositeurs se mirent à utiliser l'ordinateur dans l'écriture de leurs oeuvres.
Un des premiers compositeurs à faire appel aux mathématiques d'une façon exhaustive est le grec Iannis Xenakis qui développa les bases de la musique stochastique, terme faisant référence à l'utilisation des règles de probabilité et de hasard dans l'écriture musicale. Il a utilisé, entre autres, les théories des jeux de hasard, les théories statistiques, les processus aléatoires et autres théories. L'utilisation de l'informatique et des mathématiques en musique est un domaine aujourd'hui en effervescence.


    Nous avons donc pu voir comment nous sommes arrivés à la gamme tempérée actuelle et comment elle permet de créer des systèmes d’écriture musicale très variés. Maintenant, intéressons nous plus particulièrement à une note et voyons comment se décompose un son.


    B – LA SERIE HARMONIQUE


Un son pur n'existe pas dans la nature, comme le prouve la composition spectrale d’un son quelconque (ici, la sonnerie du lycée) :



Comparons avec le son pur du diapason à 440 Hz (Voir en annexe : Le diapason) :


On remarque qu'un son qui n'est pas pur est toujours accompagné d'autres fréquences donc d'autres sons : c'est la série harmonique.

Théorie de la série harmonique

Tout objet qui vibre produit des harmoniques, c’est-à-dire plusieurs fréquences simultanées qui, ensemble, produisent un son, une note. C’est le suisse Jean Bernoulli (1667-1748) qui trouve au début du XVIIIème siècle une formule mathématique calculant les harmoniques d’un son : 
Les harmoniques possèdent plusieurs propriétés :

Une série harmonique est illimitée. Toutefois, pour une fréquence trop élevée, il n’y a pas assez d’énergie pour que le son existe réellement, c’est pourquoi un son possède tout au plus une dizaine d’harmoniques.
 Une série harmonique est une série d’intervalles, pas de hauteur : ainsi, on peut aussi bien commencer une série par un do, par un ré ou par un fa# par exemple.
Les harmoniques de rang pair correspondent à des sons déjà présents dans l’octave inférieure alors que les harmoniques de rang impair correspondent à des sons absents à l’octave inférieure. Ainsi, si la fondamentale est un do, la deuxième sera aussi un do à l’octave supérieure.
De la propriété précédente, on déduit que les octaves ont de plus en plus de notes donc les intervalles sont de plus en plus petits et on finit par devoir assimiler deux sons différents à une même note.
Il existe un moyen de connaître le nombre de sons dans une octave : la première octave possède un son, la deuxième en possède deux, la troisième en a quatre et la n-ième en a 2n-1. Comme la cinquième possède seize sons (pour douze notes existantes), il suffit de connaître les quatre premières octaves, soit les 16 premiers composants de la série harmonique.
Un intervalle est un rapport fractionnaire : ainsi, le rapport de m sur n nous donnera l’intervalle entre la n-ième et la m-ième harmonique. Par exemple, si la deuxième harmonique est un do, une octave au-dessus du do fondamental, le rapport sera de 2/1 soit 2, le rapport d’une octave. Ces calculs ne fonctionnent qu’avec des rapports de fréquence : si on raisonne avec des cordes ou des tuyaux, il faut inverser le sens du rapport ; ainsi, une corde deux fois plus courte qu’une autre raisonnera une octave au-dessus (pour deux mêmes cordes évidemment.)
Les intervalles de la série harmonique sont sans battements : on dit qu’ils sont purs, parfaits, naturels ou encore justes.

Voici maintenant une série harmonique ayant un do pour fondamentale :


Pour conclure, nous allons voir un exemple de décomposition spectrale.
En utilisant un programme d’acquisition sonore et de décomposition spectrale, WinOscillo, j’ai pu enregistrer les fréquences du début d’un air connu. Voici un exemple :

Ainsi, on a trouvé une valeur 592 Hz pour la quatrième note (nous avions 515 pour les 3 premières).
On calcule le rapport 592/440 et on arrondit le résultat : on a 592/440 ~ 1,345345 donc ~ 4/3.
On admet donc que la fréquence n’est pas réellement de 592 Hz mais plutôt de 440*4/3 ~ 587 Hz.
D’après la série harmonique, un rapport de 4/3 correspond à la quarte entre sol et do : la note résonnant à 592 Hz est donc une quarte au-dessus de la3 : ré. De même, les trois premières notes correspondent à un rapport de 592/515 (environ 7/6) donc une tierce mineure au-dessus du la3 : do. En poursuivant ainsi pour quelques notes, on obtient : do – do – do – ré – mi – ré – do – mi – ré – ré – do, c’est-à-dire le refrain de Au clair de la lune.

Toutefois, on se rend vite compte que cette méthode informatique compte quelques défauts :
     -    il faut être équipé d’un ordinateur avec acquisition audio alors qu’une oreille est si petite…
il faut enregistrer le signal de chaque note et faire quelques calculs pour obtenir la fréquence de la note et le nom de la note jouée alors qu’une « oreille musicale » trouve le nom de la note en moins d’une seconde.
cette méthode permet de trouver les notes, mais pas les rythmes (ici, quatre croches, deux noires, puis quatre croches et une noire.)

Finalement, la méthode classique, utilisant l’oreille humaine, est bien plus performante et satisfaisante que la méthode informatique.



Nous avons vu qu’une gamme dite tempérée se divise en douze notes, chacune étant séparée d’un demi-ton. Chaque son formé par ces notes est en fait une superposition de sons de fréquences différentes ; on appelle série harmonique la série de notes composée de ces sons. Grâce à elle, on peut établir un rapport entre les fréquences de deux notes et ainsi retrouver, à partir du la3 à 440Hz, une note jouée. Cette méthode reste néanmoins archaïque face à l’oreille humaine (entraînée), bien plus rapide et efficace que l’ordinateur.
Enfin, pour finir et pour revenir à l’introduction de la série harmonique, précisons que le lycée résonne chaque heure sur un mi4.

Annexe :

1. D'où vient le nom des sept notes ?

Celles-ci existaient depuis le début de l'an mille. On attribue l'établissement du nom des sept notes de la gamme musicale (pour les langues latines) au bénédictin Gui d'Arezzo, qui se servit des premières syllabes des sept vers de la première strophe d'un hymne à saint Jean-Baptiste pour créer la gamme diatonique. Voici l’hymne à Saint Jean-Baptiste :

UT queant laxis    
Resonare fibris       
Mira gestatoris        
Famuli tuorum
SOLve polluti
Labii reatum
Sancte Ioannis

Les anglo-saxons utilisent plus simplement les lettres de l'alphabet de A à G (A correspondant à notre La)

2. Formation de l'échelle de Zarlino

Le vénitien Gioseffo Zarlino imagina une échelle qui est une approximation de celle de Pythagore, basée sur l’accord parfait majeur. La gamme de Zarlino est formée d’accords parfaits superposés.
Partons d’un do qui vaudrait 1f et construisons l’accord parfait placé au-dessus et celui placé en dessous. (Un accord parfait est la superposition d’une tierce majeure ou mineure, selon si l’accord est majeur ou mineur, et d’une quinte juste.) Nous obtenons ainsi :



Do
F
Mi
5f / 4
Sol
3f / 2


Fa
2f / 3
La
5f / 6
Do
f  


Sol
3f / 2
Si
15f / 8
Ré
9f / 4

Si ensuite nous ramenons toutes ces fréquences à l'intervalle [f ; 2f] (c'est-à-dire l'octave commençant par le do), on obtient :

        Do = 1 ; Ré = 9/8 ; Mi = 5/4 ; Fa = 4/3 ; Sol = 3/2 ; La = 5/3 ; Si = 15/8 ; Do = 2
Les fréquences des différentes notes paraissent comme des fractions plus simples que celles de Pythagore mais il y a cette fois 3 types d’intervalles :
 
       - 9/8 : ton «majeur» zarlinien, qui correspond au ton pythagoricien qu’on appellera T.
       - 10/9: ton «mineur» zarlinien qu’on notera T’
       - 16/15 : le «demi-ton majeur» zarlinien, qu’on appellera D’. 
Nous pouvons également rajouter la notion de demi-ton mineur, qui est le rapport du ton mineur sur le demi ton majeur :
10/9 / 16/15 = 25/24
Le demi-ton mineur permettrait de diéser ou bémoliser une note. Nous avons donc 2 demi-tons différents. Sans même essayer de bâtir une gamme chromatique qui serait obligée de réunir certaines notes très proches pour n’en garder que 12, il est clair que la présence de ces 4 types d’écarts différents rendra la transposition irréalisable et posera toutes sortes de problème.

Le rapport  EQ \s\do2(\f(80;81)) correspond au coma syntonique.
Il existe plusieurs types de coma : par exemple, le coma pythagoricien vaut  EQ \s\do2(\f(531441;524288)) soit 5,885 σ.
Ceci permet bien de comprendre pourquoi une gamme tempérée est importante : une gamme tempérée n’a aucun coma.
NoteDoRéMiFaSolLaSiDoSystème zarlinienf  EQ \s\do2(\f(9;8)) f EQ \s\do2(\f(5;4)) f EQ \s\do2(\f(4;3)) f EQ \s\do2(\f(3;2)) f EQ \s\do2(\f(5;3)) f EQ \s\do2(\f(15;8)) f2 fSystème pythagoricienF EQ \s\do2(\f(9;8)) f EQ \s\do2(\f(81;64)) f EQ \s\do2(\f(4;3)) f EQ \s\do2(\f(3;2)) f EQ \s\do2(\f(27;16)) f EQ \s\do2(\f(243;128)) f2 fRapport11 EQ \s\do2(\f(80;81))11 EQ \s\do2(\f(80;81)) EQ \s\do2(\f(80;81))1
3. Modes et impressions d'après Marc-Antoine Charpentier et Jean-Philippe Rameau.

Marc-Antoine Charpentier (1643-1704 : compositeur notamment d'un Te Deum en 1692) pose ses règles de composition à travers ce qu'il appelle l'énergie des modes (c'est l'impression que donne une tonalité) ; il utilise 18 gammes sur 24 et l'on peut remarquer que les gammes avec plus de trois altérations ont un caractère très marqué.

Do Majeur : gai et guerrier
Do mineur (Mi et La bémols): obscur et triste
Ré Majeur (Fa et Do dièses): joyeux et très guerrier
Ré mineur (Si bémol et Do dièse): grave et dévot
Mi b Majeur (Si, Mi et La bémols): cruel et dur
Mi b mineur (Si, Mi, La, Sol et Do bémols):  horrible, affreux
Mi Majeur (Fa, Do, Sol et Ré dièses): querelleux et criard
Fa Majeur (Si bémol): furieux et emporté
Fa mineur (Si, La et Ré bémols): obscur et plaintif
Sol Majeur (Fa dièse): doucement joyeux
Sol mineur (Si et Mi bémols, Fa dièse): sérieux et magnifique
La Majeur (Fa, Do et Sol dièses): joyeux et champêtre
La mineur (Sol dièse): tendre et plaintif
Si b Majeur (Si et Mi bémols): magnifique et joyeux
Si b mineur (Si, Mi, Ré et Sol bémols): obscur et terrible
Si Majeur (Fa, Do, Sol, Ré et La dièses): dur et plaintif
Si mineur (Fa, Do et La dièses): solitaire et mélancolique

En 1767, Rousseau dans ses Eléments de musique théorique et pratique, selon les principes de M.Rameau définit l'impression que donnent les tons :

Do, Ré et La Majeurs : Allégresse
Fa et Sib Majeurs : Tempestes, furies
Sol et Mi Majeurs : Tendre et gai
Ré, La et Mi Majeurs : Grand et magnifique

Ré, Sol, Si et Mi mineurs : Douceur, tendresse
Do et Fa mineurs : Tendresse, plaintes
Fa et Si b mineurs : Lugubre

Par exemple, la 3ème symphonie de Beethoven en mi b Majeur fut appelée Symphonia Eroica : l'Héroïque (ce nom remplaça le nom de Symphonie Bonaparte quand Beethoven apprit par un de ses élèves qu'il s'était proclamé Empereur.) Sa symphonie n°5 est en do mineur (obscur et plaintif donc) mais un demi-ton plus bas, en si mineur, il devient solitaire en mélancolique. Enfin, sa lettre à Elise est en fa mineur et est bien obscure et plaintive.


4. Calculer le nombre d'or

Ce nombre représentait chez les Grecs un principe de croissance équilibré et était utilisé dans leur système esthétique car il représenterait la proportion parfaite de la nature. Il existe plusieurs façons de le calculer :


     - En utilisant la série de Fibonacci

1 + 2 = 3 ; 2 + 3 = 5 ; 3 + 5 = 8 ; 5 + 8 = 13 ; 8 + 13 = 21 ; 13 + 21 = 34, etc. ainsi jusqu'à l'infini.

On obtient la suite de nombres suivante :

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ...

Maintenant, si on divise chacun de ces nombres par le suivant, on obtient le chiffre d'or, soit environ 0,62.
 
    - En utilisant le rapport  Φ  solution positive de l'équation  Φ ² -  Φ  - 1 = 0.
 
Voici la définition du Larousse :
         5. Le diapason

Au IIIème siècle avant J.-C., un document attribue la hauteur absolue à l’empereur mythique Huang Ti (IIIème millénaire avant J.-C.) en faisant référence à des tubes de bambou calibrés.
Le terme de diapason vient du grec  διαπασον qui signifiait octave.
La référence changera au fil du temps : à la fin du XVIème siècle, la référence était un tuyau de un pied pour le do de l’orgue en Angleterre, mais pas partout ailleurs. (28,32 cm en Saxe, 237 cents en France et 395 en Italie). En 1700, Joseph Sauveur trouve une fréquence de 405 Hz pour le la du Grand Opéra de Paris. Une commision établit le 17 juillet 1858 un relevé des la d’Europe à 18°C : Londres a un la de 434 Hz, Toulouse en a un 437 Hz, le Grand Opéra de Paris est à 448 et la musique des gardes et le Philharmonic Society de Londres ont un la à 455,5 Hz. La différence est faible et le plus écart correspond à moins d’un demi-ton. On décide toutefois de fixer une valeur de 435 Hz à 18°C. En octobre 1938, Hitler interdit tout autre diapason que le 435 Hz. En 1939, l’organisation internationale de normalisation à Londres fixe le diapason à 440 Hz pour 20°C.

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LE TEMPS DES NEURONES

Quinze minutes de plongée dans le monde étrange et fascinant de nos cellules nerveuses. Grâce aux techniques de la microcinématographie, les phénomènes les plus complexes qui se déroulent dans le cerveau sont enfin montrés. Nous voyons naître les cellules nerveuses, nous les voyons grandir, travailler, mourir. Ces images mettent en évidence deux acteurs principaux : les cellules gliales, responsables de l'architecture et du nettoyage du cerveau, et les neurones qui ont pour fonction de communiquer en produisant des signaux. Un voyage dans le moi le plus intime.

GénériqueAuteurs : Marcel Pouchelet, William Rostène et Jean-François Ternay Réalisateur : Jean-François Ternay Producteur : CNRS Audiovisuel Diffuseur : CNRS Diffusion

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Transcription* de la 548e conférence de l'Université de tous les savoirs donnée le 18 octobre 2004.

Le Viaduc de Millau par Michel Virlogeux

De la conception à la construction, le viaduc de Millau a fait grand bruit et fait désormais partie des ouvrages de référence. Celui-ci est situé sur l'A75, dernièrement construite par les services de l'état qui se sont efforcés de bâtir un ouvrage de qualité dans tous ses aspects, notamment celui du tracé routier. Des efforts considérables ont en effet été réalisés afin d'intégrer entièrement cette autoroute dans les paysages alentours. Les ingénieurs se sont exprimés dans ce but, des ouvrages d'art de qualité. Ainsi, tout au long de l'autoroute, du viaduc sur la Truyère en passant par la Lozère et l'Aveyron, ils permettent l'accès au dernier d'entre eux, le viaduc de Millau, le sujet qui nous intéresse ici. Nous aborderons en premier lieu les problèmes d'architecture rencontrés par les ingénieurs lors de sa conception, puis les aspects scientifiques et techniques de l'ouvrage et finalement l'historique du projet.

Avant d'aborder le viaduc de Millau proprement dit, de nombreux ouvrages parsèment l'autoroute. D'abord, le viaduc sur la Trière, un ouvrage extraordinaire placé à proximité d'un autre pont, celui là de Gustave Eiffel. Il a ainsi été construit à une distance suffisante de ce dernier, cet écartement visant à éviter une co-visibilité. Le viaduc diffère également de son illustre prédécesseur afin d'éviter de singer d'une façon qui n'aurait pu être autre que médiocre l'ouvrage d'Eiffel et de l'ingénieur Boyer.

Ensuite, deux grands viaducs ont été construits dans la Lozère : le viaduc du Piou et le viaduc du Rioulon situés dans deux sites complètement différents. Le premier s'appuie sur un talweg à flancs de coteaux, avec une structure intéressante de caissons précontraints, des parties latérales soutenues par des bracons en acier et un jeu sur les couleurs et sur les formes. Cet effort vise un but esthétique, celui d'allier l'efficacité à l'élégance. Au contraire, le viaduc du Rioulon passe d'une colline à l'autre en traversant la vallée. Tout au long de son tracé, il possède bien sûr une géométrie, un matériel identique et un même mode de construction.

En poursuivant son chemin, l'automobiliste rencontre alors le viaduc de la planchette, un ouvrage extrêmement simple avec deux poutres principales en acier et en forme de I. Ces dernières sont reliées par de multiples pièces de pont qui viennent porter une dalle supérieure en béton armé. D'autres ouvrages sont en outre visibles par la suite, par exemple le pont d'Entrenas, construit au sommet d'un col. Celui-ci est composé d'un petit arc tubulaire pour marquer le franchissement du col. En acier, il porte des diagonales dans les deux directions et ainsi indirectement une dalle en béton précontraint. L'arc est une structure funiculaire de compression c'est à dire une structure qui vient reprendre les charges par une compression de l'arc. Au contraire, dans une tranchée profonde est construit plus loin un pont sous bandé qui cette fois possède une structure funiculaire de traction. Il est composé quant à lui d'une dalle en béton précontraint soutenue par le dessous par une série de câbles déviés par des pièces métalliques. Un effort tout particulier a donc été entrepris en ce qui concerne les formes par l'architecte Pierre Million.

D'autres ouvrages plus simples ont également été bâtis. Par exemple, le pont sur le Lot qui possède une structure monolithique dans le sens où il n'existe aucune coupure entre les piles et le tablier. Le dernier ouvrage avant d'arriver au viaduc de Millau s'appelle le viaduc de Verrière. Long d'à peu près mille mètres, il borde un village médiéval. Il permet quant à lui le franchissement de cette vallée à une hauteur élevée. Les piles, conçues par André Mascarelli, sont très larges et possèdent une forme élégante, chacune s'affinant avec la hauteur. Ces dernières soutiennent d'ailleurs un caisson métallique. En réalité, une solution mixte a été préférée avec un caisson central en acier et un hourdis supérieur porté par des pièces du pont avec des zigzags en V cette fois-ci pour l'esthétique mais également dans le but de le différencier du pont évoqué auparavant.

Ainsi, tous ces ouvrages ont fait l'objet d'une conception soignée. Certes, sur le plan structurel, ils n'ont rien d'exceptionnel mais ils recherchent tous à traverser le paysage avec élégance et simplicité tout en évitant l'ostentation ou les formes artificielles, autrement dit en écartant toute architecture anecdotique ou provocatrice.

Abordons maintenant le viaduc de Millau en notant en premier lieu que les efforts guident les formes, et non la fantaisie ou l'esthétique. Les formes d'un grand ouvrage dérivent en effet directement de la répartition des efforts, de la manière dont l'ingénieur fait circuler les forces, descendre les charges. Ces charges revêtent ainsi une importance considérable dans la forme de l'ouvrage. Le franchissement du viaduc de Millau n'était en outre pas une mince affaire dans le sens où le site se révèle très complexe. En fait, le Tarn arrive du nord et tourne vers l'ouest dans Millau ; en chemin, un affluent, la Dourbie, le rejoint. Les vallées de ces deux fleuves découpent ainsi les plateaux du Massif Central en laissant au nord-ouest le Causse Noir et au sud le célèbre plateau du Larzac qui culmine à près de 720 mètres. Ce site se révèle dès lors extrêmement difficile dans le sens où il existe une dénivellation considérable entre le plateau du Larzac et le fond de la vallée qui est environ à 300 mètres en dessous de ces plateaux. Et ceci a été un problème géographique considérable.

Tout d'abord, il a fallu trouver un tracé adapté pour le viaduc. De nombreuses solutions ont émergé. L'une d'entre elle, complètement délocalisée vers l'ouest, préconisait de traverser les gorges du Tarn et par la suite la Dourbie, et ceci avec deux superbes ponts suspendus, chacun d'une portée avoisinant le kilomètre. Ce projet comportait néanmoins une lacune majeure, celle de ne pas permettre l'accès de Millau depuis l'autoroute. Irréaliste, cette solution a vite été écartée puisque Millau est la seule ville imposante entre Clermont-Ferrand et Béziers et doit donc être desservie par cette autoroute. D'autres solutions ont elles aussi émergées, avec bien souvent des problèmes géotechniques en ce qui concerne les fondations au vu du terrain comportant toutes les formes d'effondrements du Larzac et d'une composition très argileuse. Finalement, après des études approfondies, deux variantes se sont imposées. La première, appelée « tracé bas », consiste à descendre le long d'un petit talweg et d'un petit affluent du Tarn, le Ravin de la Madeleine. Ensuite, le Tarn est traversé à l'aide d'un petit pont à haubans puis un petit échangeur est créé sur le plateau de France, celui-ci permettant de faire la jonction avec le CD990 qui dessert les zones de Saint Afrique et de Roquefort. Or, nous serions rentré dans la partie supérieure du Caussonus qui est un calcaire sain et franc dans lequel creuser un tunnel n'aurait pas été un interdit.

En réalité, ce premier tracé a permis de débloquer la situation et l'émergence de la deuxième solution aux alentours de 1989. Ce projet consiste au contraire à franchir directement la vallée en « sautant » d'un plateau à l'autre. En ce qui concerne le trafic, ce projet est plus sûr dans le sens où le tracé bas possède une pente dans le tunnel qui atteint 4 %, en virage et exposée au nord, autrement dit soumise au verglas en hiver. Cette première solution restait donc indiscutablement dangereuse pour le trafic. D'autant plus que sur le site de l'échangeur, les camions se dirigeant vers Roquefort devaient subir un virage giratoire de quarante mètres avec une pente de 4 %. Au final, la variante haute s'est donc naturellement imposée.

Pourtant, au départ, cette solution avait été écartée intellectuellement parlant à cause de la profondeur de la vallée traversée. Le réflexe naturel dans ce type de reliefs aurait été de construire un énorme ouvrage de 700 ou 800 mètres de portée avec des pylônes gigantesques, tout ceci s'intégrant très difficilement au paysage. D'où le rejet initial de cette variante. Néanmoins, au fur et à mesure de l'avancement du projet, cette solution est revenue dans les esprits et a été finalement choisie. A la vue des dimensions de la brèche, la solution techniquement parlant aurait été de franchir le Tarn par un pont à haubans et de prolonger l'ouvrage par des travées régulières de 150 à 170 mètres de portée au dessus du plateau de France. Cette solution avait néanmoins aux yeux des concepteurs un défaut majeur qui justifie la recherche intense de variantes. Celles-ci devaient permettre en effet le franchissement de la vallée du Tarn en étant assez régulièrement espacés, par exemple par un viaduc à très grandes travées. La question naturelle revient donc à se demander pourquoi. Simplement à cause du fait que de Millau, les méandres du Tarn empêchent d'apercevoir la partie profonde de la vallée. Pour la majorité des observateurs du viaduc, on ne voit en fait qu'un pseudo plateau au niveau du plateau de France. Par conséquent, présenter un ouvrage aux parties du dessus du Tarn différentes aurait été incompréhensible depuis Millau. L'orientation naturelle s'est ainsi portée vers un viaduc à travées multiples et répétitives pour une esthétique indéniable depuis Millau. Les premières ébauches utilisaient des caissons précontraints et des piles très hautes. À l'époque, les piles les plus hautes étaient celles du pont du Kochertal , en Allemagne avec une hauteur de 185 mètres. Dans le cas du viaduc de Millau, la plus grande d'entre elles s'élève à 245 mètres au dessus du niveau du fleuve. D'autant plus qu'elle est surmontée d'un pylône qui quant à lui culmine 90 mètres plus haut. Au total, ces piles se révèlent ainsi extrêmement hautes.

Explicitons maintenant les difficultés très spécifiques d'un pont à haubans à travées répétitives qui ne fonctionne pas à l'instar du pont à haubans classique avec comme illustre représentant le pont de Normandie. Prenons un tel pont classique à trois travées. Les travées de rive, autrement dit celle proches des rives, ont une portée moitié moins grande que la portée centrale. Les charges permanentes, c'est-à-dire le poids propre et les équipements, sont parfaitement équilibrés par une structure de haubanage. Les câbles ancrés sur le pylône supportent ainsi directement le tablier. Dès lors, les charges permanentes sont équitablement équilibrées de part et d'autre du pylône avec des haubans qui s'accrochent et se tendent de chaque côté. De telle sorte que le pylône est soumis à une charge verticale qui permet la stabilité du tablier soumis à son propre poids et à la composante verticale de la tension des haubans. Par contre, lors de la prise en compte des charges d'exploitation, tout est différent. En effet, dans le cas d'un pont à haubans classique, lorsque la grande travée est chargée, elle fléchit, surtend les haubans et induit un fléchissement des pylônes l'un vers l'autre. Le mouvement de ces pylônes est ensuite freiné par les câbles de retenue ancrés aux extrémités du tablier ; ce dernier étant tellement souple, les haubans intermédiaires n'ont en effet pas l'occasion ici de travailler. Evidemment, lorsqu'une travée de rive est chargée, elle fléchit aussi, entraînant vers elle le pylône et induisant un soulèvement de la grande travée. Les haubans de retenue se détendent alors, ce qui permet au pylône de ne pas trop pencher vers les travées de rive. Prenons ainsi l'exemple du pont de Normandie dans lequel sont installés de multiples petits appuis intermédiaires dans les travées de rive. Le fonctionnement en est amélioré dans le sens où les travées de rive ne peuvent plus se déformer vers le haut et tous les haubans arrière retiennent efficacement le pylône.

Quant au comportement du viaduc de Millau, il diffère de celui présenté ci-dessus. En effet, une travée chargée fléchit, entraînant les pylônes et levant les travées adjacentes. Cependant, rien ne vient freiner ce mouvement au contraire du pont de Normandie puisque les haubans arrière suivent le mouvement. Lorsque les charges d'exploitation se déplacent sur le viaduc, le mouvement induit dans le pont se déplace avec lui. Ainsi, les unes après les autres, les travées suivent ce mouvement dû à la charge. Ce problème de rigidité va dès lors dépendre considérablement de la manière avec laquelle les pylônes vont être liés au tablier. On peut ainsi rencontrer des pylônes encastrés dans le tablier qui peuvent tourner autour de têtes de piles. Dans ce cas de figure, le pont résiste très mal aux chargements dissymétriques. Au contraire, avec des pylônes très rigides, lorsqu'on a une continuité entre la pile et son pylône, la rigidité de la tour, à savoir l'ensemble pylône/pile, va s'opposer au moment de flexion et reprendra la majorité des efforts.

On doit ainsi faire face à un difficile problème d'organisation du système. En effet, les ponts à haubans à travées multiples sont des ouvrages rares qui commencent timidement à faire leur entrée dans la multitude des structures utilisées pour bâtir un pont. Une des solutions pour ce type d'ouvrage est d'avoir un tablier indépendant, ce qui lui permet de bouger sans influer sur le pylône de ce fait rigide. Une autre technique consiste à faire tenir le tablier sans aucune aide du pylône. Dans ce cas de figure, il existe une indépendance complète du pylône vis-à-vis du tablier et les deux ne s'influencent pas en ce qui concerne les mouvements ; à partir de là, les pylônes peuvent être aussi rigides que souhaités. Par exemple, le pont de Rion Antirion construit en Grèce pour les jeux olympiques en août 2004 possède un tablier entièrement suspendu. Les énormes piles de ce pont, formées de quatre jambes chacune, sont des structures offshore dans lesquelles s'encastre un tablier. Au final, le pont est presque suspendu et joue comme une balançoire sous l'effet majeur considéré ici, le séisme. Ce tablier est en outre freiné transversalement par des amortisseurs parasismiques et le balancement longitudinal est empêché par les surtensions des haubans d'un côté et leurs détensions de l'autre.

En outre, d'une façon ou d'une autre, de la rigidité doit être introduite tout en gardant à l'esprit que le tablier doit pouvoir se dilater sous l'effet des variations de température. Ce dernier va en effet s'allonger en été et se rétrécir en hiver. On comprend alors aisément qu'on ne peut pas lier le tablier à ses piles dans le sens où ces variations dimensionnelles, ces effets de dilatation et de rétraction induiraient des efforts colossaux. Par exemple, on peut placer un joint de dilatation au milieu d'une travée et inclure dans le tablier une poutre qui reprend les moments de flexion. Cette solution n'est pas la meilleure ; la solution la plus intelligente consiste en effet à concevoir des piles d'une forme particulière, qui soient à la fois suffisamment rigides pour s'opposer aux flexions venant des charges dissymétriques et dans le même temps assez souples pour accepter les mouvements horizontaux. C'est un système développé il y a fort longtemps par Jacques Mathivat lorsqu'il a bâti les ponts de Choisy le Roi et de Courbevoie ; il consiste à dédoubler la pile en deux fûts parallèles, minces et suffisamment flexibles pour autoriser les variations dimensionnelles du tablier qui dans le cas du viaduc de Millau avoisinent les cinquante centimètres. Dans le même temps, avec ces deux fûts, les charges dissymétriques induisent une compression dans l'un des fûts et une traction dans l'autre. Du fait que les structures soient très efficaces en ce qui concerne les tractions/compressions, cette technique de doublage d'appui est suffisamment efficace pour donner la rigidité nécessaire ; l'ouvrage résiste ainsi aux effets des charges dissymétriques. Par conséquent, toutes les formes du viaduc de Millau découle de ce choix, c'est-à-dire des façons de résoudre les problèmes contradictoires rencontrés : suffisamment de rigidité pour reprendre les effets des charges dissymétriques et suffisamment de souplesse pour accepter les variations dimensionnelles dues aux effets de la température.

Attardons nous maintenant un petit peu sur l'interaction entre la technique et l'architecture. Norman Foster, l'architecte du viaduc, avait le choix entre trois formes de piles sous le tablier : pour les deux très grandes piles, de hauteur respectives 230 et 245 mètres, pour toute une série de piles intermédiaires au niveau du plateau de France et enfin pour les piles d'extrémité qui supportent les plus grands déplacements longitudinaux. En ce qui concerne les grandes piles, des caissons massifs auraient pu être utilisés tandis que des fûts dédoublés auraient au contraire servis à l'érection des piles sur le plateau. Les piles d'extrémité quant à elles auraient consisté en des fûts dédoublés avec une ligne simple d'appareils d'appui en tête de pile pour la souplesse. Bien entendu, cela aurait conduit à des formes de piles différentes d'un appui à l'autre. La forme unique a dès lors été fort logiquement choisie et l'architecte a opté pour des piles constituées en partie basse par des caissons dont les dimensions à la base avoisinent 17 mètres longitudinalement et 24 mètres transversalement ; et ceci pour s'opposer aux effets du vent accentués du fait de l'altitude et donc du bras de levier des efforts produits par le vent. Dans la partie supérieure, la pile se divise en outre en deux fûts. Toutes les piles sont ainsi identiques, en tout cas issue de la même pile originelle. Dès lors, la géométrie de chaque pile est définie à partir de ce modèle : on définit ainsi chaque pile de haut en bas en s'arrêtant au niveau où le sol rencontre cette pile première. De même, la détermination de tout ce qui concerne le pylône est une conséquence directe des choix architecturaux mais ce dernier doit également être rigide pour contribuer à la reprise des charges dissymétriques. Par exemple, un pylône massif ou une pile composée de deux fûts avec un caisson central en acier permettant à la fois d'ancrer les haubans et de reprendre les efforts d'un fût à l'autre conviennent. Cette dernière forme singulièrement adaptée, celle d'un V renversé constitué des deux fûts introduits ci-dessus, est celle qui a été préférée.

En outre, dès le début, un pylône et des haubans axiaux étaient préférés. Or, dans les grands ponts, on vient suspendre le tablier la plupart du temps des deux côtés pour de nombreuses raisons, en particulier dans le but d'améliorer la rigidité de torsion. Dans le cas d'un ouvrage comme le viaduc de Millau, cette solution n'était pas envisageable compte tenu de la très grande hauteur des piles. Venir faire le tour du tablier avec des câbles aurait été en effet esthétiquement très mal perçu. Ainsi, un pylône et une nappe de haubans axiaux ont été préférés, ces derniers tenant dès lors le tablier par le milieu.

Le projet a ainsi débuté en 1987 avec l'étude des différentes variantes tandis que le choix définitif n'est intervenu qu'en 1996, soit près de dix ans après. Les études détaillées ont alors débutés pour aboutir au projet final deux ans plus tard. Or, à ce moment, le jury a fait remarquer que les formes des piles et du tablier n'étaient pas cohérentes. Le tablier avait en effet une forme trapézoïdale, celle du pont de Normandie à très peu de choses près. Or, les sections à la base des piles avaient plutôt une forme arrondie, ce qui ne correspond guère à celle du tablier évoquée auparavant. Dans le but d'arriver à une meilleure harmonie des formes, les architectes de l'équipe de Foster ont dessiné des piles avec des élégants pans coupés ; l'un des objectifs étant de séparer les surfaces de béton en multiples facettes. En effet, le béton possède toujours des teintes irrégulières ; un jeu de lumière est ainsi mis en place en découpant les surfaces, ce qui donne un aspect esthétique bien meilleur.

En ce qui concerne le tablier, une élégante forme triangulaire est alors suggérée, forme qui ne sera pas retenue au final à cause des mauvais résultats en soufflerie. En outre, deux projets parallèles étaient menés à ce sujet, le premier en acier et l'autre en béton ; finalement, le choix s'est porté sur celui en métal pour sa légèreté et sa facilité de mise en oeuvre.

Les grands ponts ont deux ennemis essentiels, le vent et les séismes. Or, des progrès indiscutables sont faits pour tout ce qui concerne les matériaux ; Millau par exemple contient de l'acier thermomécanique hautement résistant. Des avancées ont également étaient faites grâce à l'outil informatique mais principalement grâce à la maîtrise des efforts naturels extrêmes, c'est-à-dire les effets du vent et les efforts sismiques. Le pont de Rion Antirion a ainsi pu être érigé grâce à ces progrès et ceci en dépit de la forte probabilité d'occurrence de séismes dans la zone puisque ce dernier peut y résister. Le viaduc de Millau, le pont de Normandie et a fortiori les grands ponts suspendus ont également pu voir le jour grâce à cette maîtrise de la réponse de ces structures face à l'action du vent. Il peut ainsi s'agir de problèmes de stabilité aérodynamique, c'est-à-dire des phénomènes du type Tacoma, autrement dit la forme de l'ouvrage qui induit des vibrations petit à petit amplifiées menant finalement à l'effondrement final. La résistance face à la turbulence du vent doit être également attentivement étudiée, tout particulièrement ses rafales qui viennent exciter les périodes de vibration de la structure et engendrer en conséquence des efforts qui parfois peuvent dépasser la capacité résistante de celle-ci. Parallèlement aux études théoriques, tous les grands ouvrages subissent ainsi des essais en soufflerie tout au long du projet. Ainsi, au fur et à mesure de l'avancement, les résultats sont vérifiés et affinés. Par exemple, les essais les plus simples consistent à mesurer les forces générées par un vent régulier sur le profil du tablier. Les efforts sur le tablier sont ainsi déterminés sous deux régimes de vent, le premier laminaire, autrement dit très régulier et le second turbulent, c'est-à-dire incluant les irrégularités habituelles telles les rafales. On essaie d'ailleurs d'ajuster le vent fictif à celui du site en question préalablement disséqué. Des courbes nous renseignent sur l'effort de traînée, c'est-à-dire l'effort transversal subi par le tablier, sur les moments, autrement dit tout ce qui aura tendance à faire tourner le tablier et finalement sur les efforts de portance, l'effet vertical créé par le vent. Les instabilités dynamiques peuvent ainsi être évitées.

Quant au viaduc de Millau, après divers essais, la solution du tablier triangulaire est écartée du fait même de ces mauvais résultats en soufflerie ; la forme trapézoïdale est de nouveau privilégiée, choix qui sera confirmé par ces essais. L'architecte a ensuite décidé d'adapter la forme des piles, moins cruciale, à celle du tablier. Celle retenue se révélait complètement adéquate à en admirer les résultats excellents obtenus en soufflerie.

Le projet s'est alors poursuivi petit à petit. La version définitive en béton précontraint a été présentée une dernière fois au jury en 2001. Elle comporte un caisson central dans lequel sont ancrés les haubans et des alvéoles latérales raidies par un système de triangulation métallique dans le but d'alléger cet ouvrage. La principale difficulté dans ce projet consistait en un phasage de construction cohérent. On construit en effet des ponts à haubans par encorbellement successif, autrement dit en érigeant la pile en premier puis en y plaçant de chaque coté des voussoirs, à savoir des morceaux de tablier, à l'aide de haubans soutenant le tout et ceci de manière symétrique. Avec des fléaux à 240 mètres au dessus de la base de la pile, le vent aurait alors agité trop excessivement le tablier ; des câbles tendus ont par contre été nécessaires à la stabilisation de l'ouvrage final, en particulier celle des fléaux.

Entre parenthèse, lors du rendu final en 1995-96, il avait été envisagé de mettre en place le tablier en métal par lancement malgré les mises en garde de l'industrie métallique française qui ne pensait le projet inadapté principalement à cause de son coût élevé. Une autre technique de construction a alors été réclamée et l'idée développée fut celle de construire l'ouvrage progressivement en partant d'une des culées. On construisait naturellement par encorbellement successif en s'aidant de haubans provisoires ancrés dans la partie supérieure du pylône si bien que les fléaux atteignaient les 330 mètres de hauteur. En y ajoutant la légère courbure du pont, le vent aurait induit des efforts trop importants. Dès lors, cette solution a naturellement été écartée.

Au final, en 1999, la méthode par poussage du tablier a été choisie, et cela dans le cadre d'une concession de l'état, le budget alloué à la construction de l'autoroute étant épuisé. Cette concession n'a en réalité débuté qu'en 2001, avec entre temps l'aménagement de tous les accès nécessaires à la construction de l'ouvrage. Ainsi, une route de 10 kilomètres avec deux ponts a été créée, cette dernière étant indépendante de toutes les voiries publiques. En comparaison, le viaduc mesure 2420 mètres de long. Le groupe Eiffage a finalement remporté l'appel d'offre avec la méthode de lancement du tablier, ce qui a impliqué une révision de la conception. En particulier, il était impératif de revoir la forme du tablier qui désormais devait comporter deux âmes verticales au milieu de celui-ci. En effet, au cours du lancement, toute la charge passe sur des appareils d'appui ; d'où la présence de ces âmes verticales. En ce qui concerne le pont de Normandie en comparaison, il n'existe pas d'âmes centrales mais un tube raidi par les multiples augets, c'est-à-dire des raidisseurs locaux et par un système triangulé de diaphragmes. Autre conséquence du lancement du tablier : les pylônes ne pouvaient être en béton mais en acier à cause des délais. En effet, en admettant de pouvoir lancer le tablier sans pylône à l'avant, on ne peut pas venir construire après le lancement des pylônes en béton dans le sens où cela signifie le début d'un chantier de béton et par conséquent un retard d'au moins une année. Ainsi, comme dans le projet exposé en 1996, un pylône en acier a été préféré ; la construction de ce dernier a d'ailleurs été menée parallèlement au lancement du tablier, ce qui a permis de l'installer juste après la mise en place du tablier. En outre, l'acier étant plus léger que le béton, le tablier doit être cloué sur les têtes de piles à l'aide de câbles de précontrainte de manière à éviter son soulèvement sous l'effet des charges de trafic dissymétriques ou du vent.

Abordons maintenant les travaux effectués, en commençant par les excavations menées dans le cadre des chantiers de chacune des sept piles de l'ouvrage. Les soutènements sont d'abord mis en place ; ils atteignent parfois les quinze mètres de hauteur. Des puits de fondation qui quant à eux ne dépassent pas douze mètres de profondeur sont ensuite creusés. Avec un diamètre de quatre mètres environ, ils permettent de descendre jusqu'au sol les charges extrêmement importantes venant du tablier. Pour avoir un ordre de grandeur de ces forces, une jambe de pylône du pont de Normandie avoisine les 120000 tonnes. Les pieux de fondation bétonnés soutiennent en outre la semelle de fondation contenant un ferraillage impressionnant destiné à renforcer la structure. Les piles sont érigées ensuite à l'aide d'un coffrage mixte, c'est-à-dire constitué d'un coffrage extérieur auto grimpant qui monte avec la pile à l'aide de vérins tandis que le coffrage intérieur se lève plus traditionnellement avec une grue. Au passage, les piles ont des formes tout à fait différentes mais, avec le concours de l'architecte, ces variations de forme ont permis d'avoir malgré tout des coffrages mécanisés ; et cela grâce à certaines facettes qui gardent une largeur constante ou qui varient de façon homogène, ce qui autorise une mécanisation de ces coffrages. Les grues à tour utilisées étaient ainsi gigantesques, atteignant 275 mètres de hauteur pour les plus grandes d'entre elles, avec en anecdote un travail quelquefois en plein milieu du brouillard. Afin d'ériger ces piles, deux équipes se sont alternées, de jour comme de nuit.

Etonnamment, ces piles n'ont pas été conçues pour permettre la mise en place du tablier par poussage. Elles ont donc été dotées d'un système extrêmement complexe de transfert de charge au niveau des têtes de pile, dispositif qui a demandé près d'un an d'étude. Il est composé d'appareils de lancement, autrement dit d'un buton venant descendre les charges vers les piles et de câbles de précontrainte qui reprennent les effets de traction. Les effets du vent, quant à eux horizontaux, doivent également être repris, ce qui a impliqué l'inclusion de grosses barres métalliques dans le béton des piles. D'ailleurs, le démontage de cet équipement de tête de pile a été fastidieux, certains d'entre eux étant même encore présent lors de l'inauguration, ce qui n'a altéré en aucune façon le fonctionnement mécanique de la structure.

Le lancement du tablier a en outre nécessité la présence d'appuis intermédiaires, des palées provisoires tubulaires, en acier. Ces dernières ont été par ailleurs assemblées comme des grues, par le bas à l'aide d'une cage de télescopage. Elles ont une forme carrée de douze mètres de côté avec en tête le système de lançage du tablier. Ainsi, tous les appuis, piles définitives et palées provisoires, ont été progressivement mis en place.

Détaillons maintenant la fabrication du tablier en acier, mis en place par poussage et donc fabriqué en entier sur le site. Il est composé de caissons orthotropes. Ceux-ci, formés de tôles raidies par des augets, ce qui augmente leur résistance face aux efforts de compression, ont été fabriqués à Lauterburg en Alsace tout comme la fabrication des éléments de pylône. Ces tôles sont ensuite assemblées à Fos sur Mer pour donner naissance à des caissons finalement acheminés par voie terrestre jusque Millau. Ils sont destinés à abriter les voussoirs successifs qui quant à eux sont fabriqués sur site et qui demeurent ainsi à l'abri des intempéries. Finalement, par un ajout d'ailes en tôles de platelage, ce caisson est prolongé latéralement, ce qui permet l'avancement successif de la construction. Les parties latérales du tablier peuvent de cette façon être soudées au caisson central. Le système d'appui est réalisé quant à lui à partir de tôles très épaisses, jusqu'à 80 millimètres d'épaisseur, puisqu'il doit reprendre des efforts considérables. Du fait de la forme complexe du pylône, les âmes comportent des plis successifs de manière à ce que systématiquement tous les panneaux du pylône tombent exactement sur les tôles dont nous avons parlées auparavant.

Une fois la première partie du tablier achevé, il est lancé par l'avant à l'aide d'un avant bec remplissant plusieurs fonctions : amener le tablier sur la pile suivante, récupérer la dénivellation due au poids du tablier qui fléchit au fur et à mesure du lancement et puis éventuellement aider à résister à des efforts transversaux lors d'un arrêt imprévu, dû au vent par exemple. Le lancement débuté, on voit apparaître une flexion importante vers le bas qui induit un gondolement prévu et anticipé des tôles. Dans le même temps, le tablier est équipé de corniches et d'écrans de protection contre le vent. En effet, celui-ci est poussé à environ 150 mètres au dessus du plateau et subit naturellement les effets du vent, bien plus importants qu'au niveau du sol. Ainsi, les véhicules empruntant le pont sont protégés grâce à ces écrans d'une gifle due au vent. Ce dernier n'est d'ailleurs pas stoppé mais atténué jusqu'à une valeur à peu près identique à celle d'un vent au niveau du sol. Une fois le premier tronçon lancé, le pylône est monté à l'avant du tablier à l'aide de grues. Il permet dès lors la mise en place de quelques haubans aidant le tablier à franchir les 171 mètres séparant deux appuis successifs.

Le poussage du tablier se révèle délicat du fait de la hauteur vertigineuse des piles courantes, 240 mètres pour la plus grande. Tout effort horizontal, dû à la pente de 3 % ou au frottement par exemple, ne peut être admis dans le sens où, à 200 mètres du sol, ils viendraient casser les piles. Des dispositifs ont dû dès lors être inventés, et ce dans le but d'éviter tout effort horizontal : les translateurs. Ces derniers sont installés sur des batteries de vérins couplés de manière à s'adapter en permanence aux déformations du tablier. Le translateur lui-même et constitué d'un bâti, avec un fond et deux joues latérales, d'une clavette et d'une glissière. Ce système complexe fonctionne de la façon suivante : lors du poussage, le tablier s'appuie sur la glissière qui est alors tirée par les vérins. La glissière avance ainsi avec le tablier. La clavette centrale est alors retirée. Du fait de sa forme triangulaire, le système d'appui va s'abaisser et le tablier se reposer sur le bâti. Dès lors, la glissière peut revenir à sa position initiale, plus en arrière, puisqu'elle est désolidarisée du tablier. Il suffit à présent de remonter la glissière qui va soutenir à nouveau le tablier et la faire se translater vers l'avant. Ainsi de suite, le tablier avance. En outre, ce système permet l'équilibre sur chaque pile grâce à des capteurs reliés à un ordinateur s'assurant que les déplacements sont identiques en chaque point. Le tablier lancé, il arrive désormais à sa première palée provisoire. Le pylône haubané à sa tête est d'ailleurs raccourci afin de réduire l'action du vent au vu de la longueur du tablier et donc du bras de levier. La déformée du tablier tout au long du poussage est d'ailleurs impressionnante. En effet, lancé à partir de la chaussée définitive, il devait accepter une différence verticale de 5 mètres, soit un peu plus que sa hauteur de 4,20 mètres. L'ouvrage devait ainsi être assez souple pour permettre cela.

De plus, pendant le lancement, le tablier fléchit sous l'effet de son poids ; cependant, par cette flexion, on détend les haubans, inutiles pendant cette phase puisque le système est auto équilibré ; ces derniers se tendront lors de l'arrivée sur les pylônes pour soutenir l'avant du tablier. Des dispositions particulières en ce qui concerne les haubans ont été prises pour éviter leur cassure brutale à la sortie des ancrages, rupture provoquée par les détensions particulièrement importantes. Dans les phases d'arrêt, ces derniers sont bloqués par des cordes pour éviter les vibrations et le tablier cloué provisoirement par précaution, au cas où une tempête surviendrait. De la même façon, aucune opération de poussage n'est amorcée sans avis de beau temps durant les trois prochaines journées. Enfin, lors de l'opération finale de clavage, au mois de mai 2004, les deux parties de tablier sont bridées l'une à l'autre à l'aide d'un système de câbles, de raidisseurs et de vérins, ce qui permet de réaliser la dernière soudure. Les autres pylônes assemblés sont ensuite amenés à l'aide de grues ; le convoi avoisine d'ailleurs les 800 tonnes. Ceux-ci sont finalement basculés, passant de leur position couchée sur le tablier à leur position finale. L'opération ultime consiste à tendre les haubans ; la construction du viaduc de Millau est alors terminée.

* transcription réalisée par Rémy Deloffre

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