Modélisation en musique

Modèles mathématiques

En 1739, le mathématicien suisse Leonhard Euler publie un essai dans lequel il souhaite expliquer pourquoi la musique apporte du plaisir. Selon lui, l’élément clé est la perfection, qu’il recherche dans les rapports de nombres représentant les accords.
Depuis, l’étude des mathématiques dans la musique s’est développée et est devenue un champ disciplinaire à part entière. L’informatique a été un des catalyseurs de ce nouveau champ de recherche, donnant ainsi naissance à une discipline, la « musicologie computationnelle », ayant pour but d’analyser les œuvres musicales afin d’y déceler des structures mathématiques sous-jacentes.
Ainsi, cette partie a pour but de donner quelques exemples du formalisme de la musique et de son utilisation dans l’analyse des œuvres musicales.

a) Formalisation algébrique de la musique
i. Historique
L’utilisation des méthodes algébriques en musique met en œuvre 3 aspects souvent interdépendants : les aspects théoriques et analytiques, ainsi que ceux d’aide à la composition. Parmi les compositeurs et théoriciens emblématiques du mouvement théorique, on peut en retenir 3 : Milton Babbitt, Iannis Xenakis et Roumain Anatol Vieru. Ils ont découvert le caractère algébrique du tempérament égal, c’est-à-dire que dans la gamme, chaque note est séparée d’un-demi ton de sa voisine, soit une gamme à 12 demi-tons (do, do#, ré, ré#, mi, fa, fa#...), ce qui diffère de la gamme diatonique à 7 tons (do, ré, mi, fa, sol, la, si).
Plus précisément, ils ont mis en avant la notion mathématique de groupes comme concept unificateur. Cette théorie regroupe des concepts abstraits, mais ces structures seraient en réalité inhérentes à notre cerveau. Cette notion est née d’études sur les racines de polynômes, et va permettre d’aider à analyser la musique. Elle a été découverte par Joseph-Louis Lagrange, mais ne fut utilisée pour la 1ère fois qu’un demi-siècle plus tard par M. Babbitt, qui a observé que le système dodécaphonique est « un groupe de permutations qui est façonné par la structure mathématique de ce modèle ». La musique dodécaphonique diffère de la musique tonale, où une des 7 notes de la gamme diatonique prédomine sur les autres et leur impose une hiérarchie. C’est en 1923 qu’Arnold Schoenberg va proposer la méthode de compositions avec 12 tons, d’où l’échelle dodécaphonique, dans laquelle aucune note n’est prédominante. Une composition dodécaphonique se fonde sur une séquence de 2 sons musicaux distincts, sans répétition, nommée série élémentaire. L’œuvre est une combinaison de cette série et d’autres séries dérivées par des symétries..

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Paris, 15 juin 2011

Des neutrinos en flagrant délit de métamorphose
Pour la première fois, les physiciens de l'expérience T2K au Japon, parmi lesquels ceux du CNRS (1) et du CEA/Irfu, annoncent avoir très probablement détecté une transformation de neutrinos muons en neutrinos électrons. L'observation - probable à plus de 99% - de ce phénomène constituerait une découverte majeure pour la compréhension de la physique des particules élémentaires et ouvrirait la voie à de nouvelles études sur l'asymétrie entre la matière et l'antimatière.
Les neutrinos existent sous trois formes ou « saveurs » : les neutrinos électrons, muons et tau. L'expérience T2K, située au Japon, étudie le mécanisme d'oscillation de ces particules, c'est-à-dire la faculté qu'elles ont à se transformer en une autre saveur dans leurs déplacements. Son principe est d'observer les oscillations des neutrinos sur une distance de 295 km, entre les sites de Tokai, où les neutrinos muons sont produits grâce à l'accélérateur de particules de JPARC (2) sur la côte est du Japon, et le détecteur Super-Kamiokande, une cuve d'eau cylindrique de 40 mètres de diamètre et 40 mètres de hauteur située à 1 000 mètres sous terre, près de la côte ouest (d'où son nom T2K, qui signifie « de Tokai à Kamiokande »).

Les analyses des données collectées entre la mise en service de l'expérience en janvier 2010 et mars 2011 (l'expérience a été arrêtée avec le séisme du 11 mars) montrent que durant cette période, le détecteur Super-Kamiokande a enregistré un total de 88 neutrinos, parmi lesquels 6 neutrinos électrons qui proviendraient de la métamorphose de neutrinos muons en neutrinos électrons. Les 82 neutrinos restants seraient essentiellement des neutrinos muons n'ayant subi aucune transformation entre leur point de production et leur détection. Des mesures utilisant un GPS certifient que les neutrinos identifiés par le détecteur Super-Kamiokande ont bel et bien été produits sur la côte est du Japon. Les physiciens estiment ainsi que les résultats obtenus correspondent à une probabilité de 99,3% de découverte de l'apparition des neutrinos électrons.

L'expérience T2K redémarrera dès la fin de cette année. Bien que situés dans une zone sismique proche de l'épicentre du tremblement de terre du 11 mars 2011, le laboratoire JPARC et les détecteurs proches de T2K n'ont subi heureusement que des dégâts minimes. Le prochain objectif de T2K est de confirmer avec davantage de données l'apparition des neutrinos électrons et, mieux encore, de mesurer le dernier « angle de mélange », un paramètre du modèle standard qui ouvrirait la voie aux études de l'asymétrie entre la matière et l'antimatière dans notre Univers.

La collaboration T2K regroupe plus de 500 physiciens de 62 institutions réparties dans 12 pays (Japon, pays européens et États-Unis). Les équipes du CNRS et du CEA/Irfu ont mis au point certains instruments de mesure utilisés dans les détecteurs proches (situés à 280 mètres du point de production des neutrinos et nécessaires à contrôler l'expérience) et participé à la calibration du détecteur Super-Kamiokande. Elles ont également contribué à l'analyse des données.

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 INTEGRATION DES LANGUES VIVANTES

Chaque langue vivante utilise de façon préférentielle certaines plages de fréquences sonores, appelées bandes passantes

Bandes passantes de plusieurs langues courantes
Ces différences sont liées à la différence de l’impédance de l’air selon les lieux. En effet, en fonction de l’altitude, de la végétation, de l’humidité et d’autres caractéristiques géographiques, l’air va mieux propager certaines fréquences et en atténuer d’autres. Par exemple, en Angleterre l’air est un excellent conducteur des fréquences aiguës mais atténue les sons graves.  C’est sur ces fréquences sélectives que la langue va se moduler.

 La bande passante française et très étroite, ce qui explique en général la difficulté pour les français de parler d’autres langues, notamment l’anglais qui se situe dans une sphère plus aiguë.   Les Slaves sont plus aptes à parler d’autres langues grâce à leur bande passante très large.

  Les mécanismes de l'écoute

Il existe deux muscles dans l'oreille moyenne qui sont mobilisés dans les processus de l'écoute et non pour l'audition pure, qui est passive.
C'est grâce à ces muscles que nous pouvons sélectionner et analyser les sons que nous voulons écouter. Pour chaque langue vivante, les muscles de l'oreille travaillent d'une manière particulière, adaptée aux fréquences de la langue. En fonction de l'âge et de l'histoire personnelle, l'oreille peut être plus ou moins fermée aux sons. Ces personnes, même après de longs séjours à l'étranger, ont de grandes difficultés à comprendre et parler une langue étrangère. Elles peuvent par contre acquérir une bonne connaissance de la langue écrite.

Quoi faire pour accélerer l'apprentissage d'une langue

 L’oreille peut être entraînée, très vite, d’entrer dans la bande passante d’une autre langue suite à un entraînement audio-vocal.  Les appareils à “Effet audio-psycho-phonologique” sont programmés pour faire travailler l’oreille dans les fréquences et les rythmes spécifiques à la langue désirée. Avec un nombre suffisant d’heures de stimulation, l’oreille devient capable de décoder les sons et ainsi donne la possibilité instantanée de les reproduire avec de moins en moins d’accent (de distorsions).  Ceci permet secondairement d’apprendre et de mémoriser la langue, les mots et la grammaire plus vite et plus facilement.

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Paris, 19 novembre 2012

Une avancée majeure en microélectronique : production de nano-rubans de graphène semi-conducteurs
Le graphène, cristal bidimensionnel composé d'une couche unique d'atomes de carbone, possède des propriétés très prometteuses pour l'électronique. Cependant, pour que ces applications potentielles se concrétisent, il était nécessaire d'obtenir une forme semi-conductrice de ce matériau. Huit ans après sa découverte, c'est chose faite, grâce aux travaux d'une équipe franco-américaine menée par le Georgia Institute of Technology (USA), et incluant des scientifiques du CNRS, du synchrotron SOLEIL, de l'Institut Jean Lamour (CNRS/Université de Lorraine, Nancy) et de l'Institut Néel (Grenoble). Les chercheurs sont parvenus à mettre au point une technique de production de bandes de graphène semi-conductrices basée sur le contrôle du substrat sur lequel se produit la croissance du graphène. Leurs résultats, publiés dans Nature Physics le 18 novembre 2012, ouvrent la voie à une électronique de très haute fréquence.
Le graphène se présente comme une monocouche d'atomes de carbone dont l'empilement constitue le graphite. De très nombreuses recherches sont menées depuis une dizaine d'années sur ce matériau. En effet, ses propriétés hors-normes, mobilités électroniques élevées, forte conductivité thermique, stabilité chimique et possibilité de moduler sa conductance électrique par un champ électrique, le rendent particulièrement attrayant pour l'électronique. En particulier, sa mobilité électronique, c'est-à-dire la vitesse à laquelle se déplacent les électrons en son sein, lui promettent des applications dans l'électronique de très haute fréquence, ou térahertz.

Mais voilà, sous sa forme naturelle, le graphène possède une structure métallique. Il est par conséquent conducteur de courant. Or, pour que ce matériau soit utilisable en microélectronique, il est nécessaire de l'obtenir sous une forme semi-conductrice. C'est ce que sont parvenus à obtenir les chercheurs de l'équipe franco-américaine.

En s'appuyant notamment sur les résultats de la ligne de lumière CASSIOPEE du synchrotron SOLEIL, les scientifiques sont parvenus à mettre au point une technique de production de bandes de graphène semi-conductrices. Basée sur le contrôle de la géométrie du substrat sur lequel a lieu la croissance du graphène, elle consiste à graver des nano-sillons sur une surface en carbure de silicium (SiC). Sur ce substrat, le graphène croît sous forme d'un ruban dont le bord, semi-conducteur, est lié à du graphène métallique. Cette bande semi-conductrice ne mesure que quelques nanomètres de largeur.

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