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LA THÉORIE DES GROUPES

 

Un grand succès pour la preuve informatique



6 ans après la démonstration par ordinateur du théorème des quatre couleurs, Georges Gonthier et son équipe réussissent la démonstration, autrement plus complexe, du théorème de Feit et Thompson, un théorème central pour la théorie des groupes et leur classification. Grand pas pour les mathématiques, qui s’appuient de plus en plus sur la preuve par ordinateur, c’est surtout une réussite pour l’informatique qui montre là sa capacité à déployer des outils et des techniques de qualité pour codifier les mathématiques.

Après la validation du théorème des quatre couleurs par le logiciel de certification Coq en 2005, c’est au tour du théorème de Feit et Thompson de passer dans la moulinette de la preuve informatique. La difficulté était cependant incomparable car, si le théorème des quatre couleurs n’utilise que des mathématiques combinatoires élémentaires, le théorème de Feit et Thompson s’appuie sur des mathématiques embrassant, grosso modo, le programme jusqu’à la licence ! Il est également plus long, avec ses 250 pages de démonstration, et les enjeux autrement importants, avec des applications dans de nombreux domaines scientifiques modernes, de la mécanique quantique à la cryptographie, en passant par la cristallographie.

Réussir à faire la preuve que cette démonstration est correcte et complète est donc une entreprise de taille que Georges Gonthier et son équipe, Laurent Théry, Laurence Rideau, Assia Mahboubi, Enrico Tassi et bien d'autres, ont mis 6 ans à achever. Il s’agit en effet de faire "comprendre" la démonstration à l’ordinateur et pour cela il est nécessaire de lui "enseigner" toutes les mathématiques dont il aura besoin : théorèmes, démonstrations, etc., mais aussi la manière de s’en servir, une compétence qui transparaît uniquement dans les notations présentes dans la partie des livres de cours consacrée aux exercices. La principale difficulté résidait dans la codification de cette partie opérationnelle. Les chercheurs ont été aidés en cela par leur formation d’informaticiens rompus à l’utilisation de langages permettant de décrire les procédés utilisés, et grâce aux règles cachées que les chercheurs ont identifiées derrières les notations mathématiques. Une ligne de mathématique peut ainsi correspondre à un contenu implicite de 2 pages !

Au final : une bibliothèque informatique de mathématiques imposante et un enrichissement de la boîte à outils Coq et de son environnement. Les chercheurs ont ainsi développé un langage au-dessus de Coq qui permet de décrire des démonstrations compliquées. La preuve a également permis de tester les capacités du logiciel de certification. Il faut 1h40 pour compiler les 170 000 lignes de la démonstration.

Le théorème qui a fondé l’algèbre moderne

Le théorème de Feit et Thompson est la pierre angulaire de la théorie des groupes moderne, et donc de la classification des groupes simples, qui est elle-même la pierre angulaire de l’algèbre moderne. La théorie des groupes étudie les opérations réversibles, ce qui devient vite compliqué lorsque le nombre de dimensions augmente. Elle trouve des applications dans des domaines très variés dont la plus ancienne historiquement est la cristallographie : la théorie des groupes permet d’interpréter les interférences provoquées par l’illumination d’un cristal par les rayons X afin d’en déduire la structure du cristal. Dans le domaine grand public, la théorie des groupes est à l’origine de casse-tête comme le rubik’s cube pour lequel chaque manipulation est réversible.
 Les recherches mathématiques sur les groupes se sont développées au milieu du 20e siècle lorsque l’on s’est aperçu qu’ils étaient très utiles. Les mathématiciens ont voulu étudier leurs propriétés en utilisant une méthode consistant à factoriser les groupes, c’est-à-dire à les décomposer en facteurs de groupes élémentaires (dits simples) à la manière des entiers décomposés en facteurs de nombres premiers (30=2*3*5). Cette méthode permet de restreindre l’analyse des propriétés à celle des groupes simples, qui peut se faire systématiquement grâce à une classification énumérant toutes les formes possibles de groupes simples (3 types génériques et 26 exceptions). En 1955 Brauer avait montré que l’on pouvait classifier un groupe en étudiant ses involutions, mais cette technique ne fonctionne pas pour les groupes d’ordre impair. C’est là qu’intervient le travail de Feit et Thompson qui, en démontrant que tous les groupes impairs sont résolubles, a ouvert la voie à l’étude des groupes pairs. Ils ont également fourni des méthodes totalement nouvelles et sont à l’origine d’un changement de perspective dans les mathématiques. La publication du théorème en 1963 prenait en effet la forme d’un article comptant 250 pages, ce qui était inédit à une époque où les démonstrations mathématiques élégantes les plus longues ne dépassaient pas 20 pages. De quoi alimenter des doutes sur le sérieux du travail ! La classification des groupes simples d’ordre pair, qui s’est poursuivie jusqu’en 2003, fait pour sa part 10 000 pages…

 

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FRACTALES

 


MATHÉMATIQUES


Trois dimensions pour une fractale


mathématiques - par Propos recueillis par Mathieu Nowak dans mensuel n°438 daté février 2010 à la page 18 (614 mots) | Gratuit
Les fractales sont devenues un outil d'étude et de modélisation important en physique mais elles restent aussi des objets mathématiques mystérieux. Leur histoire se confond avec celle de leur représentation. Pour la première fois, une image tridimensionnelle de l'« ensemble de Mandelbrot » a été publiée.

La première image tridimensionnelle d'un des plus célèbres types de fractales vient d'être révélée [1]. Que vous inspire-t-elle ?

J.-F.C. C'est l'image la plus intéressante que j'ai vue ces dernières années, esthétiquement parlant. Elle évoque des objets que l'on observe dans la nature ou en microscopie électronique. Cela ne veut pas dire pour autant que les processus en oeuvre pour obtenir l'image sont des processus « naturels ». La géométrie fractale nous avait déjà permis d'obtenir des images ressemblant beaucoup à des montagnes ou à des nuages, mais les mécanismes permettant de les obtenir n'avaient rien à voir avec ceux qui façonnent la nature. Il y a une telle richesse morphologique dans ces images qu'on peut y voir un peu ce que l'on veut - un peu comme avec les taches d'encre du test de Rorschach.

Pourquoi est-il difficile d'obtenir une image de ce genre ?

J.-F.C. La géométrie de ces « nouveaux » ensembles de Mandelbrot est très complexe : on applique de façon itérative une fonction aux points de l'espace lire l'encadré et on aboutit à des trous, des canaux, etc. La forme des objets est a priori inconnue. On les reconstruit à partir de chiffres : un ensemble de points qu'il faut relier entre eux. Puis on doit choisir une source lumineuse pour distinguer les détails. C'est difficile comme il est difficile de donner une bonne représentation de l'intérieur d'un morceau de gruyère.

Y a-t-il une difficulté intrinsèque à la troisième dimension ?

J.-F.C. Oui, les mathématiciens voudraient avoir des nombres pour « étiqueter » les points de l'espace, de même que les nombres réels sont des « étiquettes » pour les points de la droite et les nombres complexes des « étiquettes » pour les points du plan. Pour cela l'idée est d'étendre les nombres complexes à trois dimensions. Mais cela pose des problèmes lors de la définition de produit de deux nombres.

Au XIXe siècle, le mathématicien et physicien irlandais William Hamilton a eu l'idée de passer à la quatrième dimension avec des nombres qu'il a baptisés « quaternions ». On peut ensuite « redescendre » d'une dimension en faisant des coupes. Mais les figures ainsi obtenues ne sont pas très intéressantes : en particulier, l'ensemble de Mandelbrot a un axe de symétrie et rappelle la forme d'une toupie.

Ici, les quaternions ont été mis de côté pour obtenir la troisième dimension directement ?

J.-F.C. Oui, Daniel White, un mathématicien amateur, a choisi une approche différente. Son idée a été de créer des « nombres en trois dimensions », c'est-à-dire des triplets de nombres réels. Les figures ainsi obtenues avaient cependant des zones très lisses et d'autres très tourmentées. Pour faire apparaître des détails partout, Paul Nylander, un autre amateur, a perfectionné le procédé d'itération en augmentant le degré des polynômes itérés au-delà de la puissance 2 - en particulier à la puissance 8. J'ai moi-même généralisé cette démarche aux quaternions.

N'est-ce pas surprenant que ces résultats soient obtenus par des amateurs ?

J.-F.C. Quand on fait de la recherche académique, on a tendance à ne pas s'éloigner des « bons nombres », comme les nombres complexes. Or ces nombres ne permettaient pas de faire les figures de la complexité voulue. Il fallait quelque chose de nouveau. Rien n'interdit d'appliquer une formule arbitraire à des triplets de nombres. Mais le cadre théorique dans lequel ces opérations s'inscrivent reste à inventer.

Par Propos recueillis par Mathieu Nowak

 

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THÉORÈME D'INCOMPLÉTUDE DE GÖDEL

 

THÉORÈME  D'INCOMPLÉTUDE  DE  GÖDEL

 

Les théorèmes d'incomplétude de Gödel sont deux théorèmes célèbres de logique mathématique, démontrés par Kurt Gödel en 1931. On se posait alors la question de savoir si les systèmes axiomatiques proposés pour démontrer toutes les théories mathématiques connues pouvaient démontrer leur propre consistance logique. En gros, pouvait-on être sûr que l'on n'aurait jamais des démonstrations contradictoires d'un énoncé de mathématique déduit d'un des systèmes d'axiomes censés fonder les mathématiques ?

Le grand mathématicien David Hilbert, qui avait été à l'origine de ce problème, l'espérait. Mais Gödel mit fin à cet espoir en démontrant que tout système axiomatique permettant de faire de l'arithmétique devait contenir des propositions qui ne pouvaient être démontées, ou réfutées, en utilisant le système axiomatique en question. Si l'on décidait qu'une de ces propositions était un autre axiome, on aurait un nouveau système, mais qui contiendrait lui aussi des propositions dont la vérité ou la fausseté sont indécidables. Paradoxalement, on sait que certaines de ces propositions indécidables sont vraies, mais on ne peut le démontrer. C'est souvent en ces termes que l'on parle « du » théorème d'incomplétude de Gödel, mais il s'agit en fait de son premier théorème d'incomplétude.

Le second théorème, lui, affirme que dans un système axiomatique donné permettant de faire de l'arithmétique, la proposition concernant la non-contradiction de ce système (c'est-à-dire le fait qu'on ne pourra jamais en déduire deux propositions mathématiques contradictoires) est elle-même indécidable. D'autres énoncés indécidables ont été découverts depuis. Ainsi, d'après des travaux de Gödel, puis de Paul Cohen, l'axiome du choix et l'hypothèse du continu sont des énoncés indécidables dans la théorie ZF, la théorie des ensembles de Zermelo et Fraenkel, couramment utilisée comme fondement des mathématiques
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LE THÉORÈME DE GÖDEL

 

Petit résumé du théorème de Gödel

15 juin 2002

(cf. Complexité et complication)

Le théorème de Gödel [Gödel] a été publié en 1931. Il démontre que si l’on construit un système logique pour formaliser la théorie des nombres entiers, ce système contiendra au moins une formule A qui est vraie mais qui est telle que ni A, ni sa négation non-A ne pourront être formellement démontrées dans le cadre du système.

Russell et Whitehead avaient tenté de fonder l'ensemble de la logique sur une base axiomatique. Gödel a démontré avec son théorème que ce but était hors d'atteinte puisque, quel que soit le nombre (fini) des axiomes retenus pour fonder un système logique, il existera toujours des propositions vraies que l'on ne pourra pas démontrer dans le cadre de ce système.

Cette découverte a été déchirante pour beaucoup de mathématiciens. "Karl Menger avait commencé sa carrière en s'intéressant à la logique et aux fondements des mathématiques. La publication du fameux théorème d'impossibilité de Gödel lui porta un coup dont il ne se remit jamais. (...) Y penser le déprimait et, alors qu'il me racontait cette histoire, il s'enferma peu à peu dans un silence sombre qui dura jusqu'à la fin du repas" (Herbert Simon, Models of my Life, MIT Press 1996, p. 101).

La démonstration de Gödel est très technique et sa lecture est difficile. Voici une description schématique de son raisonnement, tel qu’il le présente lui-même dans l’introduction de son article :

1) Supposons qu’il existe une Théorie Complète (TC) fondée sur un nombre fini d'axiomes et permettant, si l’on considère une phrase quelconque, de décider sans jamais se tromper si cette phrase est vraie ou non.

2) Considérons la phrase « TC ne dira jamais que la présente phrase est vraie ». Nommons cette phrase G, ce que nous noterons : G = « TC ne dira jamais que G est vraie ».

3) Soumettons G à TC et demandons à TC de dire si G est vraie ou non.

4) Si TC dit que G est vraie, alors G est fausse. Mais alors comme TC a dit que G était vraie, TC a commis une erreur. Cependant par hypothèse TC ne se trompe jamais. Donc TC ne dira jamais que G est vraie.

5) Si « TC ne dit jamais que G est vraie », G est vraie. Mais d'après ce que nous venons de voir TC ne pourra jamais le dire. 

6) Il ne peut donc pas exister de Théorie Complète, c’est-à-dire de théorie permettant, quelle que soit la phrase que l'on considère, de dire si elle est vraie ou non.

Ce raisonnement rappelle le paradoxe fameux qui met en scène un Crétois disant : « Les Crétois ne disent que des mensonges ».

Application à l'informatique

Un des résultats importants de la théorie de l'informatique ([Sipser] p. 165), c'est qu'il est impossible de concevoir un programme capable de vérifier tous les programmes. Ce résultat est une application du théorème de Gödel.

Supposons en effet qu'un tel programme P existe.

1) Si le programme A est juste, P(A) = v (v pour « vrai »).

2) Soumettons à P le programme G = « P(G) = f » (f pour « faux »). 

3) Si P(G) = v, le programme P(G) = f est faux ; donc P[P(G) = f ] = P(G) = f, ce qui est contraire à l'hypothèse. Si P(G) = f, alors on a P[P(G) = f ] = P(G) = v, ce qui est encore contraire à l'hypothèse.

4) Ainsi G ne peut pas être vérifié par P. Il ne peut donc pas exister de programme capable de vérifier tous les programmes.

Certes on peut définir des méthodes de vérification efficaces et les outiller de sorte qu'elles soient faciles à utiliser. Mais ces méthodes, aussi efficaces soient-elles, ne garantissent pas que tous les programmes qu'elles valident soient corrects.

 

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